حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x}}{4 x + 1}$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x}}{4 x + 1}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x (1)}}{4 x + 1}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x) + 4 x (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x + 1)}}{4 x + 1}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $4 x (x + 1)$ بالصيغة $2^{2} (x (x + 1^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1)}}{4 x + 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

خطوة 1.2.3

أضف الأقواس.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} (x (x + 1^{2}))}}{4 x + 1}$

خطوة 1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

خطوة 1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{4 x + 1}$

خطوة 2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 3.5.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x + 1)}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 7.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 8

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 9.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 10

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 11.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

خطوة 11.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 12

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + 0}$

خطوة 13

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اقسِم $1 + 0$ على $1$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 + 0}}{1}}{4 + 0}$

خطوة 13.2

اقسِم $\sqrt{1 + 0}$ على $1$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{4 + 0}$

خطوة 13.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4 + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{1 + 0}$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{4 + 0}$

خطوة 13.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot 2 + 0}$

خطوة 13.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 0}$

خطوة 13.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot (2 + 0)}$

خطوة 13.3.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot (2 + 0)}$

خطوة 13.3.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

خطوة 13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

خطوة 13.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

خطوة 13.5

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 14

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$