حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{\sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $e^{\sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \sqrt{x}$ . إذن $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

$\int 2 u e^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int u e^{u} d u$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

خطوة 7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

خطوة 8

بسّط.

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$