حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ غير معرّفة.

$x = - 1$

خطوة 2

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

خطوة 2.1.1.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

لكتابة $e^{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

خطوة 2.1.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

خطوة 2.1.2

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

خطوة 2.1.2.2

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

اضرب $e^{x}$ في $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

خطوة 2.1.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

خطوة 2.1.2.2.2

اجمع $e^{x}$ و $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $e^{x}$ في $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.3.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

خطوة 2.1.2.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

خطوة 2.2.1.2

بما أن الأُس $x + 1$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x + 1}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

خطوة 2.2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 2.2.1.3.2

بما أن الأُس $x + 1$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x + 1}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 2.2.1.3.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.3.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

خطوة 2.2.1.3.3.2.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2.1.3.3.2.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2.1.3.3.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2.1.3.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.7

اضرب $e^{x + 1}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

خطوة 2.2.3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x + 1} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.9.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.9.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.5

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.9.6

اضرب $e^{x + 1}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 2.2.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

خطوة 2.2.3.11

أضف $e^{x + 1}$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

خطوة 2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} 1$

خطوة 2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$1$

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

خطوة 3.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

خطوة 3.4

بما أن الأُس $x$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احسِب قيمة حد $e^{- 1}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

خطوة 3.5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

خطوة 3.5.2.1.2

اطرح $\frac{1}{e}$ من $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$0 (- e)$

خطوة 3.5.2.3

اضرب $0 (- e)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 e$

خطوة 3.5.2.3.2

اضرب $0$ في $e$ .

$0$

خطوة 4

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 1, 0$

خطوة 5

لا يوجد خط تقارب مائل لأن درجة بسْط الكسر أصغر من أو تساوي درجة القاسم.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 6

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 1$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 1, 0$

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7