حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$16 x^{4} + 125 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 x^{4} + 125 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $125$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $125 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $125$ في $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $64 x^{3} + 125 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $125$ من كلا المتعادلين.

$64 x^{3} = - 125$

خطوة 2.3

أضف $125$ إلى كلا المتعادلين.

$64 x^{3} + 125 = 0$

خطوة 2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $64 x^{3}$ بالصيغة ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $125$ بالصيغة $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

خطوة 2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 4 x$ و $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

خطوة 2.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

خطوة 2.4.4.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

خطوة 2.4.4.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

خطوة 2.4.4.4

اضرب $5$ في $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

خطوة 2.4.4.5

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

خطوة 2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $4 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $4 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x + 5 = 0$

خطوة 2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$4 x = - 5$

خطوة 2.6.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = - 5$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = - 5$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

خطوة 2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

خطوة 2.6.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

خطوة 2.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5}{4}$

خطوة 2.7

عيّن قيمة العبارة $16 x^{2} - 20 x + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

عيّن قيمة $16 x^{2} - 20 x + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

خطوة 2.7.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.7.2.2

عوّض بقيم $a = 16$ و $b = - 20$ و $c = 25$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1.1

ارفع $- 20$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.2.2

اضرب $- 64$ في $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.3

اطرح $1600$ من $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 1200$ بالصيغة $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (1200)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.7

أعِد كتابة $1200$ بالصيغة $20^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $400$ من $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $400$ بالصيغة $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.1.9

انقُل $20$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.3.2

اضرب $2$ في $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

خطوة 2.7.2.3.3

بسّط $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.7.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1.1

ارفع $- 20$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.2.2

اضرب $- 64$ في $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.3

اطرح $1600$ من $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 1200$ بالصيغة $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (1200)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.7

أعِد كتابة $1200$ بالصيغة $20^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $400$ من $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $400$ بالصيغة $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.1.9

انقُل $20$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.4.2

اضرب $2$ في $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

خطوة 2.7.2.4.3

بسّط $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.7.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.7.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1.1

ارفع $- 20$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.2.2

اضرب $- 64$ في $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.3

اطرح $1600$ من $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 1200$ بالصيغة $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (1200)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.7

أعِد كتابة $1200$ بالصيغة $20^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $400$ من $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $400$ بالصيغة $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.1.9

انقُل $20$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 2.7.2.5.2

اضرب $2$ في $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

خطوة 2.7.2.5.3

بسّط $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.7.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.7.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $16 x^{4} + 125 x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{5}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{5}{4}$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.3

اضرب $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ في $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.4

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.6.1

أخرِج العامل $16$ من $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.7

اضرب $125 (- \frac{5}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.7.1

اضرب $- 1$ في $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

خطوة 4.1.2.1.7.2

اجمع $- 125$ و $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

خطوة 4.1.2.1.7.3

اضرب $- 125$ في $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

خطوة 4.1.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

خطوة 4.1.2.2

لكتابة $- \frac{625}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 4.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $16$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $\frac{625}{4}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

خطوة 4.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

خطوة 4.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

اضرب $- 625$ في $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

خطوة 4.1.2.5.2

اطرح $2500$ من $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

خطوة 4.1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1875}{16}$

خطوة 4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

خطوة 5