حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{15 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

خطوة 1.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

خطوة 1.2.5.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

خطوة 1.2.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

خطوة 1.2.7

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

انقُل $x^{4}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

خطوة 1.2.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

خطوة 1.2.7.3

اطرح $10$ من $4$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

خطوة 1.2.8

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

خطوة 1.2.9

اجمع $5$ و $\frac{1}{15}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

خطوة 1.2.10

اجمع $\frac{5}{15}$ و $x^{- 6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

خطوة 1.2.11

انقُل $x^{- 6}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

خطوة 1.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

خطوة 1.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15 x^{6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

خطوة 1.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

خطوة 1.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

خطوة 2

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

خطوة 3.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

خطوة 3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

خطوة 4

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 5

اجمع $5$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $5$ في $3$ .

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

خطوة 7.2

أضف $15$ و $1$ .

$f' (1) = \frac{16}{3}$