حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{e^{x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

خطوة 1.2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $x^{e^{x}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

خطوة 1.2.2

وسّع $\ln (x^{e^{x}})$ بنقل $e^{x}$ خارج اللوغاريتم.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 1.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 1.6

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 1.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

اجمع $\frac{e^{x}}{x}$ و $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8.2.2

اجمع $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ و $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8.2.3

اضرب $e^{x}$ في $e^{e^{x} \ln (x)}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.3.1

انقُل $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8.2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

خطوة 1.8.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 1.8.2.6

لكتابة $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

خطوة 1.8.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

خطوة 1.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

خطوة 2

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احذِف الأقواس.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

خطوة 3.2

اقسِم $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ على $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.1.3

اضرب $e$ في $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.2

أضف $1$ و $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.3

بسّط.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.6

اضرب $2 e \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $0$ في $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.6.2

اضرب $0$ في $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

خطوة 4.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

بسّط.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

خطوة 4.7.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

خطوة 4.7.3

اضرب $e$ في $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

خطوة 4.8

أضف $0$ و $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

خطوة 4.9

بسّط.

$f' (1) = 0 + 2 e$

خطوة 5

أضف $0$ و $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$