حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$w = \sqrt{1 + z e^{z}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + z e^{z}}$ في صورة ${(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}$ .

$w = {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d z} (w) = \frac{d}{d z} ({(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $w$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $w'$ .

$w'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ و $g (z) = 1 + z e^{z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + z e^{z}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + z e^{z}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 + z e^{z})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + z e^{z})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + z e^{z})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.6.2.2

انقُل ${(1 + z e^{z})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d z} [1 + z e^{z}]$

خطوة 4.6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + z e^{z}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [z e^{z}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [z e^{z}])$

خطوة 4.6.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d z} [z e^{z}])$

خطوة 4.6.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d z} [z e^{z}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d z} [z e^{z}]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = z$ و $g (z) = e^{z}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (z \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ هو $a^{z} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (z e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (z e^{z} + e^{z} \cdot 1)$

خطوة 4.9.2

اضرب $e^{z}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (z e^{z} + e^{z})$

خطوة 4.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}} (z e^{z} + e^{z})$ .

$(z e^{z} + e^{z}) \frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.2

اضرب $z e^{z} + e^{z}$ في $\frac{1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{z e^{z} + e^{z}}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.3

أخرِج العامل $e^{z}$ من $z e^{z} + e^{z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.1

أخرِج العامل $e^{z}$ من $z e^{z}$ .

$\frac{e^{z} z + e^{z}}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.3.2

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{z} z + e^{z} \cdot 1}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.10.3.3

أخرِج العامل $e^{z}$ من $e^{z} z + e^{z} \cdot 1$ .

$\frac{e^{z} (z + 1)}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$w' = \frac{e^{z} (z + 1)}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $w'$ بـ $\frac{d w}{d z}$ .

$\frac{d w}{d z} = \frac{e^{z} (z + 1)}{2 {(1 + z e^{z})}^{\frac{1}{2}}}$