حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = arccot (\sqrt{4 t})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 t}$ في صورة ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [arccot ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [arccot (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [arccot ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.2.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{d}{d t} [arccot (2 t^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = arccot (t)$ و $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.5.2

مشتق $arccot (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (t^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2.3

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.6.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.7

بسّط.

$- \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.9.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{1 + 4 t}$ .

$\frac{- 2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.9.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4.11

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4.12

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 4.14.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 4.16

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 4.17

اضرب $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ في $\frac{2}{1 + 4 t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (1 + 4 t)}$

خطوة 4.18

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

انقُل $2$ إلى يسار $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + 4 t)}$

خطوة 4.18.2

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.19

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.20

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.2.1

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21.2.2

اضرب $t$ في $t^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.2.2.1

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

خطوة 4.21.2.2.2

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.2.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

خطوة 4.21.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 4.21.2.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 4.21.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 4.21.2.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.21.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.3.1

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.3.1.1

اضرب في $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.21.3.1.2

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 4.21.3.1.3

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 4.21.3.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{1})}$

خطوة 4.21.3.3

بسّط.

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$