حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x - \tan (x)$

خطوة 1

اكتب $y = 2 x - \tan (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - \sec^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sec^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

خطوة 2.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

خطوة 2.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

خطوة 2.2.2.3

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

خطوة 2.2.2.4

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

خطوة 2.2.2.5

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

خطوة 2.2.2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

خطوة 2.2.2.7

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

خطوة 2.2.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 2.2.3

اطرح $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sec^{2} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sec (x) = \pm 0$

خطوة 3.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$\sec (x) = 0$

خطوة 3.3.2.3

مدى القاطع هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $\tan (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (x) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (0)$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4.2.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + 0$

خطوة 3.4.2.4

أضف $π$ و $0$ .

$x = π$

خطوة 3.4.2.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 3.4.2.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.4.2.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ صحيحة.

$x = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في $f (x) = 2 x - \tan (x)$ هي $(,)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(,)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty,)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

خطوة 6.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.20268949$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty,)$ .

تزايد خلال $(- \infty,)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 0.20268949$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(, \infty)$

تناقص خلال $(, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(,)$ .

$(,)$

خطوة 9