حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 2}$ في صورة ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2.1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 2.1.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.4

بسّط.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.5.2

اضرب ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.11.3

انقُل ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.11.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.14

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.15.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.15.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.15.3

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.15.4

اجمع $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.17

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.19

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.20

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.21

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.21.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.21.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.21.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.23

لكتابة ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.25

اضرب ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.25.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.25.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.25.3

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.25.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.26

بسّط ${(x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.27

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.28

أضف $0$ و $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.29

أعِد كتابة $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ في صورة حاصل ضرب.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2})$

خطوة 2.1.30

اضرب $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

خطوة 2.1.31

اضرب ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 2$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.31.1

اضرب ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.31.1.1

ارفع $x^{2} + 2$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

خطوة 2.1.31.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}})$

خطوة 2.1.31.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}})$

خطوة 2.1.31.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}})$

خطوة 2.1.31.4

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 2.1.32

اجمع $2$ و $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.1.33

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 2.2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

خطوة 2.2.1.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

خطوة 2.2.1.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 2.2.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.6.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.8

اجمع ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.9.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.9.2

انقُل ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.9.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

خطوة 2.2.10

اجمع $\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ و $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.11

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.12

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

خطوة 2.2.15

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

خطوة 2.2.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

خطوة 2.2.17

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

خطوة 2.2.18

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.18.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

خطوة 2.2.18.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

خطوة 2.2.18.3

اجمع $- 2$ و $\frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

خطوة 2.2.18.4

اضرب $- 2$ في $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

خطوة 2.2.18.5

اجمع $\frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ و $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 2.2.18.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$12 x = 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $12 x = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $12 x = 0$ على $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $12$ .

$x = 0$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{2 (0)}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 2}}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{2}}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $0$ على $\sqrt{2}$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - \frac{12 (- 0.1)}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $12$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0.01$ و $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة $2.01$ بالصيغة ${1.41774468}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 6.2.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

خطوة 6.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

خطوة 6.2.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{5}}$

خطوة 6.2.2.6

ارفع $1.41774468$ إلى القوة $5$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{5.72783031}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $- 1.2$ على $5.72783031$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 0.20950341$ .

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $0.20950341$ .

$0.20950341$

خطوة 6.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.20950341$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = - \frac{12 (0.1)}{{({(0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $12$ في $0.1$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({0.1}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0.01$ و $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة $2.01$ بالصيغة ${1.41774468}^{2}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 7.2.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

خطوة 7.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

خطوة 7.2.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{5}}$

خطوة 7.2.2.6

ارفع $1.41774468$ إلى القوة $5$ .

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{5.72783031}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اقسِم $1.2$ على $5.72783031$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.20950341$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.20950341$ .

$f'' (0.1) = - 0.20950341$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.20950341$ .

$- 0.20950341$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 0.20950341$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \infty)$

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

خطوة 9