حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \sqrt{x}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \sqrt{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 1.1.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 1.1.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.1.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 1.1.1.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 1.1.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.1.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 1.1.2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

خطوة 1.1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.1.2.2.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.1.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.1.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.1.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 1.1.2.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 1.1.2.2.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 1.1.2.2.14

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 1.1.2.2.15

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 1.1.2.2.16

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.1.2.3

اطرح $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 1.2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x \geq 0$

خطوة 2.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 0}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$[0, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $[0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.1.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.1.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

خطوة 4.2.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

خطوة 4.2.1.6.2

أضف $4$ و $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.2.2

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $[0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $[0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5