حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{1 + t^{3}} d t$

خطوة 1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{1^{3} + t^{3}} d t]$

خطوة 2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

خطوة 4

خُذ مشتق $\int_{1}^{x^{2}} 3 \sqrt{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ بالنسبة إلى $x$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})})$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + {(x^{2})}^{2})})$

خطوة 5.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{2 \cdot 2})})$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x (3 \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})})$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 - x^{2} + x^{4})}$