حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

خطوة 1.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x = 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

بسّط $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اضرب $e^{{(1)}^{2}}$ في $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

خطوة 1.3.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = e^{1}$

خطوة 1.3.2.3.3

بسّط.

$y = e$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, e)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

خطوة 3.4

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 3.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 3.4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 3.4.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 3.4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

خطوة 3.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = e^{1}$

خطوة 3.4.3.2

بسّط.

$u_{lower} = e$

خطوة 3.4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

خطوة 3.4.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

خطوة 3.7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

خطوة 3.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u_{2}$ في $e^{e^{2}}$ وفي $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

خطوة 3.8.2

احسِب قيمة $e^{x}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

خطوة 3.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

خطوة 3.8.3.2

اجمع $e$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

خطوة 3.8.3.3

بسّط.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

خطوة 3.8.3.4

لكتابة $- (e^{e} - e)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

خطوة 3.8.3.5

اجمع $- (e^{e} - e)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

خطوة 3.8.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

خطوة 3.8.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

خطوة 3.9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

خطوة 3.9.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

خطوة 3.9.3

اطرح $e$ من $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

خطوة 4