حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $6 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

خطوة 1.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف $3$ و $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

خطوة 1.2.4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

خطوة 1.2.4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

خطوة 1.2.4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 1.2.6

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$y = 6 (3) - 6$

خطوة 1.3.2

بسّط $6 (3) - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $6$ في $3$ .

$y = 18 - 6$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $6$ من $18$ .

$y = 12$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(3, 12)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

خطوة 3.2.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

خطوة 3.3

أضف $3$ و $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

خطوة 3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

خطوة 3.9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ و $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ في $2$ وفي $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

اضرب $9$ في $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.7.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2

أضف $8$ و $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12

لكتابة $- 9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.13

اجمع $- 9$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.15.1

اضرب $- 9$ في $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.15.2

اطرح $27$ من $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.18

اضرب $\frac{28}{3}$ في $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.20

أضف $62$ و $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.21

احذِف العامل المشترك لـ $90$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.21.1

أخرِج العامل $3$ من $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.21.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.21.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.21.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.21.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.21.2.4

اقسِم $30$ على $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.22

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.23

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.23.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.23.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.23.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.23.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.23.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.23.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.24

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

خطوة 3.10.2.3.25

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 3.10.2.3.26

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 3.10.2.3.27

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 3.10.2.3.28

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.28.1

اضرب $2$ في $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

خطوة 3.10.2.3.28.2

اطرح $1$ من $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

خطوة 3.10.2.3.29

اجمع $- 6$ و $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

خطوة 3.10.2.3.30

اضرب $- 6$ في $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

خطوة 3.10.2.3.31

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.31.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

خطوة 3.10.2.3.31.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.31.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

خطوة 3.10.2.3.31.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.10.2.3.31.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$30 + \frac{- 9}{1}$

خطوة 3.10.2.3.31.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$30 - 9$

خطوة 3.10.2.3.32

اطرح $9$ من $30$ .

$21$

خطوة 4