حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 4]$

خطوة 1

اكتب $y = e^{2 x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{2 x}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

$f (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 4

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 5

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} e^{2 x} d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

خطوة 6.5

اضرب $2$ في $4$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} e^{u} (\frac{1}{2}) d u)$

خطوة 7

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{8} e^{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{8})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $8$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot ((e^{8}) - e^{0}))$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1 \cdot 1))$

خطوة 10.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{8}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

خطوة 11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{- 1}{2})$

خطوة 11.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 12.2

أضف $4$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

خطوة 13.2

اجمع.

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

خطوة 14

اضرب $\frac{1}{4} (- \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4 \cdot 2}$

خطوة 14.2

اضرب $4$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $e^{8}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

خطوة 15.2

اضرب $4$ في $2$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{8} - \frac{1}{8}$

خطوة 16