حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $x^{2} + 3$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.2

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.4

أعِد كتابة $- (x^{2} - 3)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.1.8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{2} - 3 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 3$

خطوة 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{3}$

خطوة 2.3.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.7320508$ في العبارة.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اطرح $3$ من $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $7.46410157$ و $3$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $10.46410157$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $4.46410157$ على $109.49742174$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.04076901$ .

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2.7320508$ هو $- 0.04076901$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $3$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

خطوة 6.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 6.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

خطوة 6.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0$ هو $\frac{1}{3}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ .

تزايد خلال $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.7320508$ في العبارة.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اطرح $3$ من $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $2.7320508$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $7.46410157$ و $3$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $10.46410157$ إلى القوة $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اقسِم $4.46410157$ على $109.49742174$ .

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0.04076901$ .

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2.7320508$ هو $- 0.04076901$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ .

تناقص خلال $(\sqrt{3}, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

تناقص خلال: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

خطوة 9