حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.2.5

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

خطوة 1.1.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

حلّل $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6 \cos (x)$ من $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6 \cos (x)$ من $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $6 \cos (x)$ من $- 6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $6 \cos (x)$ من $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 2.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.4.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.4.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.4.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.4.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.4.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.4.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $- \sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $- \sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \sin (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = 1$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

خطوة 2.5.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- 1)$

خطوة 2.5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 2.5.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 2.5.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.5.2.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.8.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 2.5.2.8.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.8.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.5.2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.8.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.5.2.8.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5.2.8.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.5.2.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ هو $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 5.2

الإجابة النهائية هي $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 5.3

بسّط.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 5.4

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ هو $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ هو $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

تناقص خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

خطوة 8