حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{x} (3 x - 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x - 1$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (3 x - 1) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = e^{x} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = e^{x} (3 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = e^{x} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$f' (x) = e^{x} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.2.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{x}$ .

$f' (x) = 3 \cdot e^{x} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{x} + (3 x - 1) e^{x}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 e^{x} + 3 x e^{x} - 1 e^{x}$

خطوة 1.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$f' (x) = 3 e^{x} + 3 x e^{x} - e^{x}$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $e^{x}$ من $3 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 1.1.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 3 e^{x} x + 2 e^{x}$

خطوة 1.1.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $3 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 2 e^{x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $3 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $3 x e^{x}$ .

$e^{x} (3 x) + 2 e^{x} = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$e^{x} (3 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (3 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (3 x + 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $3 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 2$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2}{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (3 x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{2}{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = e^{x} (3 x - 1)$ هو $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{2}{3})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5}{3}$ في العبارة.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (- \frac{5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{- 5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{- 5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- \frac{5}{3}) = - 5 \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = - 5 \cdot \frac{1}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2.1.3

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

خطوة 5.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 (\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}})$

خطوة 5.2.1.6

اجمع $2$ و $\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + \frac{2}{e^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 5.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 + 2}{e^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أضف $- 5$ و $2$ .

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 3}{e^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 5.2.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - \frac{5}{3}$ هو $- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{2}{3})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{2}{3}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{3}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{3}) = 1 \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $e^{\frac{1}{3}}$ في $1$ .

$f' (\frac{1}{3}) = e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.2.2

أضف $e^{\frac{1}{3}}$ و $2 e^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (\frac{1}{3}) = 3 e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $3 e^{\frac{1}{3}}$ .

$3 e^{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{1}{3}$ هو $3 e^{\frac{1}{3}}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{2}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \frac{2}{3}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, - \frac{2}{3})$

خطوة 8