حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 6 x + e^{x}$ .

$- 6 x + e^{x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 6 x + e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 6 x + e^{x} = 0$

خطوة 2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0.20448144, 2.83314789$ .

$0.20448144, 2.83314789$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0.20448144)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.79551855$ في العبارة.

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 6$ في $- 0.79551855$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

خطوة 5.2.2

أضف $4.7731113$ و $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $5.22445842$ .

$5.22445842$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 0.79551855$ هو $5.22445842$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0.20448144)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0.20448144)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0.20448145, 2.83314789)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.51881472$ في العبارة.

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 6$ في $1.51881472$ .

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

خطوة 6.2.2

أضف $- 9.11288835$ و $e^{1.51881472}$ .

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.54607928$ .

$- 4.54607928$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 1.51881472$ هو $- 4.54607928$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0.20448145, 2.83314789)$ .

تناقص خلال $(0.20448144, 2.83314789)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2.83314789, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.833148$ في العبارة.

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 6$ في $3.833148$ .

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

خطوة 7.2.2

أضف $- 22.998888$ و $e^{3.833148}$ .

$f' (3.833148) = 23.20888358$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $23.20888358$ .

$23.20888358$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 3.833148$ هو $23.20888358$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2.83314789, \infty)$ .

تزايد خلال $(2.83314789, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$

تناقص خلال: $(0.20448144, 2.83314789)$

خطوة 9