حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (2 x - 11)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.2

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (2 x - 11))$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ و $g (x) = 2 x - 11$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x - 11) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.5

بما أن $- 11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} - 2 x + 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

خطوة 1.1.5.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.5.9

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.5.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 1.1.5.12

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 + 0)$

خطوة 1.1.5.13

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2)$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + (2 x - 11) (2 x - 2)$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + (2 x - 11) (2 x) + (2 x - 11) \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + (2 x - 11) \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.5.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x \cdot x - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 (x \cdot x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 (x \cdot x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{1 + 1} - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.8

اضرب $2$ في $- 11$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 22 x + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.9

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 22 x - 4 x - 11 \cdot - 2$

خطوة 1.1.6.5.10

اضرب $- 11$ في $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 22 x - 4 x + 22$

خطوة 1.1.6.5.11

اطرح $4 x$ من $- 22 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 26 x + 22$

خطوة 1.1.6.5.12

أضف $2 x^{2}$ و $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 x + 2 - 26 x + 22$

خطوة 1.1.6.5.13

اطرح $26 x$ من $- 4 x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 2 + 22$

خطوة 1.1.6.5.14

أضف $2$ و $22$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x + 24 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $6$ من $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) + 24 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $6$ من $24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $6$ من $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $6$ من $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4$ .

$6 (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 5 x + 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $4$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 4, - 1$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$6 ((x - 4) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 (x - 4) (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $6 (x - 4) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 4, 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $4, 1$ .

$4, 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0 + 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 6 \cdot 0 - 30 \cdot 0 + 24$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $6$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 30 \cdot 0 + 24$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 30$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 24$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 + 24$

خطوة 5.2.2.2

أضف $0$ و $24$ .

$f' (0) = 24$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 5.3

المشتق في $x = 0$ هو $24$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(1, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $3$ و $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $3$ في $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 30$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) + 24$

خطوة 6.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) + 24$

خطوة 6.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 + 24$

خطوة 6.2.1.8

اضرب $- 15$ في $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 + 24$

خطوة 6.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اكتب $- 75$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} + 24$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $\frac{- 75}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} + 24$

خطوة 6.2.2.3

اضرب $\frac{- 75}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + 24$

خطوة 6.2.2.4

اكتب $24$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{24}{1}$

خطوة 6.2.2.5

اضرب $\frac{24}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{24}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $\frac{24}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{24 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 + 24 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $- 75$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 + 24 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $24$ في $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 + 48}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اطرح $150$ من $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 + 48}{2}$

خطوة 6.2.5.2

أضف $- 75$ و $48$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 27}{2}$

خطوة 6.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{27}{2}$

خطوة 6.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{5}{2}$ هو $- \frac{27}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(1, 4)$ .

تناقص خلال $(1, 4)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = 6 {(5)}^{2} - 30 \cdot 5 + 24$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (5) = 6 \cdot 25 - 30 \cdot 5 + 24$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $6$ في $25$ .

$f' (5) = 150 - 30 \cdot 5 + 24$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 30$ في $5$ .

$f' (5) = 150 - 150 + 24$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $150$ من $150$ .

$f' (5) = 0 + 24$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $24$ .

$f' (5) = 24$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 5$ هو $24$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(4, \infty)$ .

تزايد خلال $(4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 1), (4, \infty)$

تناقص خلال: $(1, 4)$

خطوة 9