حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4 \sqrt{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.1.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.1.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.1.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.1.2.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.1.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.1.2.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.1.2.10

اجمع $- 4$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.1.2.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.12

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 1.1.2.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.1.2.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

خطوة 2.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

خطوة 2.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.4

اضرب كل حد في $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ في $x^{\frac{1}{2}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل حد في $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

خطوة 2.5.2

اقسِم كل حد في $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

اقسِم $x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

خطوة 2.5.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

خطوة 2.5.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

خطوة 2.5.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

خطوة 2.5.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = 2^{2}$

خطوة 2.5.4.1.1.2

بسّط.

$x = 2^{2}$

خطوة 2.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = 4$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $4$ .

$4$

خطوة 4

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

خطوة 4.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

خطوة 4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2}{\sqrt{x}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt{x} = 0$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.2.1.2

بسّط.

$x = 0^{2}$

خطوة 4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x = 0$

خطوة 4.4

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x < 0$

خطوة 4.5

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أعِد كتابة ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

خطوة 6.2.1.1.2

احسِب قيمة الأُس.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

خطوة 6.2.1.1.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب بسط وقاسم $\frac{2}{i}$ في مرافق $i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

خطوة 6.2.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

اجمع.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

خطوة 6.2.1.3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.2.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

خطوة 6.2.1.3.2.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

خطوة 6.2.1.3.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

خطوة 6.2.1.3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

خطوة 6.2.1.3.2.5

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

خطوة 6.2.1.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة $- 1 \cdot (2 i)$ بالصيغة $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

خطوة 6.2.1.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

خطوة 6.3

المشتق يساوي $1 + 2 i$ عند $x = - 1$ . وبما أن العبارة تحتوي على عدد تخيّلي، إذن الدالة غير موجودة في $(- \infty, 0)$ .

الدالة ليست حقيقية في $(- \infty, 0)$ بما أن $f' (x)$ عدد تخيّلي

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 4)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

انقُل ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.2.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 7.2.1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.1.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

خطوة 7.2.1.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.3

بسّط.

$- 0.41421356$

خطوة 7.4

المشتق في $x = 2$ هو $- 0.41421356$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 4)$ .

تناقص خلال $(0, 4)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.2.2

الإجابة النهائية هي $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8.3

بسّط.

$0.1055728$

خطوة 8.4

المشتق في $x = 5$ هو $0.1055728$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(4, \infty)$ .

تزايد خلال $(4, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(4, \infty)$

تناقص خلال: $(0, 4)$

خطوة 10