حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + t - e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{lim_{t \to 0} - t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.4

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{1 + 0 - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.5.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{1 + 0 - e^{0}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.6.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.6.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.2.6.3

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

خطوة 1.3.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)}$

خطوة 1.3.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

خطوة 1.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t - e^{- t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- e^{- t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (- 1 e^{- t})}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- t}$ بالصيغة $- e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - - e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + 1 e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.5.9

اضرب $e^{- t}$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.6

أضف $0$ و $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1]}$

خطوة 3.7.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1])}$

خطوة 3.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + 0)}$

خطوة 3.11

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \cdot 1}$

خطوة 3.12

اضرب $\frac{1}{t + 1}$ في $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{t \to 0} (1 + e^{- t}) (t + 1)$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$lim_{t \to 0} 1 + e^{- t} \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

خطوة 6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$(lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

خطوة 7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$(1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

خطوة 8

انقُل النهاية إلى الأُس.

$(1 + e^{lim_{t \to 0} - t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

خطوة 9

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

خطوة 10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)$

خطوة 11

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

خطوة 12

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

خطوة 12.2

احسِب قيمة حد $t$ بالتعويض عن $t$ بـ $0$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (0 + 1)$

خطوة 13

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$(1 + 1) \cdot (0 + 1)$

خطوة 13.2

أضف $1$ و $1$ .

$2 \cdot (0 + 1)$

خطوة 13.3

أضف $0$ و $1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$