حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 \tan^{-1} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\tan^{-1} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

لكتابة $- 9 x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.1.2

اجمع $- 9 x^{2}$ و $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 9$ في $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

خطوة 2.3.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

خطوة 2.3.1.3.3

أضف $2$ و $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

خطوة 2.3.2

عوّض بـ $u = x^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

خطوة 2.3.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.3.4

عوّض بقيم $a = - 9$ و $b = - 9$ و $c = 5$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.1.2.2

اضرب $36$ في $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.1.3

أضف $81$ و $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.1.4

أعِد كتابة $261$ بالصيغة $3^{2} \cdot 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $2$ في $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

خطوة 2.3.5.3

بسّط $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

خطوة 2.3.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

خطوة 2.3.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.1.2.2

اضرب $36$ في $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.1.3

أضف $81$ و $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.1.4

أعِد كتابة $261$ بالصيغة $3^{2} \cdot 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.6.2

اضرب $2$ في $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

خطوة 2.3.6.3

بسّط $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

خطوة 2.3.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

خطوة 2.3.6.5

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

خطوة 2.3.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.1.2.2

اضرب $36$ في $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.1.3

أضف $81$ و $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.1.4

أعِد كتابة $261$ بالصيغة $3^{2} \cdot 29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $2$ في $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

خطوة 2.3.7.3

بسّط $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

خطوة 2.3.7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

خطوة 2.3.7.5

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

خطوة 2.3.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

خطوة 2.3.9

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = x^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

خطوة 2.3.10

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة الأولى.

$x^{2} = - 1.39752746$

خطوة 2.3.11

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

خطوة 2.3.11.2

بسّط $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.2.1

أعِد كتابة $- 1.39752746$ بالصيغة $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

خطوة 2.3.11.2.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

خطوة 2.3.11.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

خطوة 2.3.11.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

خطوة 2.3.11.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

خطوة 2.3.11.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

خطوة 2.3.12

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة الثانية.

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

خطوة 2.3.13

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.13.1

احذِف الأقواس.

$x^{2} = 0.39752746$

خطوة 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

خطوة 2.3.13.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.13.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{0.39752746}$

خطوة 2.3.13.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

خطوة 2.3.13.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

خطوة 2.3.14

حل $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ هو $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \sqrt{0.39752746}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

احسِب قيمة $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $5$ في $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

خطوة 4.1.2.1.4

ارفع $0.39752746$ إلى القوة $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $3 \sqrt{0.0628205}$ من $2.81271509$ .

$2.06079452$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

احسِب قيمة $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

خطوة 4.2.2.1.2

اضرب $5$ في $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

خطوة 4.2.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

خطوة 4.2.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

خطوة 4.2.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

خطوة 4.2.2.1.6

ارفع $0.39752746$ إلى القوة $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

خطوة 4.2.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

خطوة 4.2.2.2

أضف $- 2.81271509$ و $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

خطوة 5