حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ و $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

أضف $2 x - 3$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

وسّع $(x - 2) (2 x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

اطرح $4 x$ من $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.3

أضف $- 7 x$ و $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.4

أضف $6$ و $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.3.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 4$ و $c = 10$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.3

اطرح $40$ من $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.4

أعِد كتابة $- 24$ بالصيغة $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (24)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.7

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

خطوة 2.3.3.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.3

اطرح $40$ من $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.4

أعِد كتابة $- 24$ بالصيغة $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (24)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.7

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

خطوة 2.3.4.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

خطوة 2.3.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{6}$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.3

اطرح $40$ من $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.4

أعِد كتابة $- 24$ بالصيغة $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (24)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.7

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

خطوة 2.3.5.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

خطوة 2.3.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{6}$

خطوة 2.3.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 3.2.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

خطوة 4.1.2.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 5

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة