حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 1

اكتب $y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ في صورة دالة.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 5)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.3

اجمع $\frac{4}{2}$ و ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.6.4.2.4

اقسِم $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ على $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

خطوة 2.3.8

اضرب ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ في $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 2.4.1.2

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 2.4.1.3

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

خطوة 2.4.1.4

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لكتابة $2 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

خطوة 2.4.2.2

اجمع $2 x$ و $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

خطوة 2.4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

خطوة 2.4.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

خطوة 2.4.2.5

أضف $4 x$ و $x$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ و $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{5 x}{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.2

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.4

اضرب $\frac{5}{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $\frac{5}{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.6.2

اجمع ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ و $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.2.6.3

انقُل $5$ إلى يسار ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $3$ إلى يسار $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

خطوة 3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

خطوة 3.4.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

خطوة 3.4.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

خطوة 3.4.6

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

خطوة 3.4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

خطوة 3.4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

خطوة 3.4.7.3

اجمع ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

خطوة 3.4.7.4

انقُل $3$ إلى يسار ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

خطوة 3.5

لكتابة $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

خطوة 3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

خطوة 3.8

اجمع $2$ و $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.9

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.10

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أخرِج العامل $2$ من $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.10.2.4

اقسِم $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ من $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1.1

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ من $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

خطوة 3.11.1.1.2

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ من $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

خطوة 3.11.1.1.3

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ من ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

خطوة 3.11.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

خطوة 3.11.1.3

اجمع $5$ و $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

خطوة 3.11.1.4

اضرب $5$ في $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

خطوة 3.11.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

خطوة 3.11.1.6

اضرب $3 \frac{5 x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.6.1

اجمع $3$ و $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

خطوة 3.11.1.6.2

اضرب $5$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

خطوة 3.11.1.7

اضرب $3$ في $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

خطوة 3.11.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

خطوة 3.11.1.9

اطرح $15$ من $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.10

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.11

اجمع $- 5$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.13

اضرب $- 5$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.14

أضف $5 x$ و $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.15

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.15.1

أخرِج العامل $2$ من $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.15.2.4

اقسِم $10 x$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.16

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.17

أخرِج العامل $10$ من $10 x - 40$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.17.1

أخرِج العامل $10$ من $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

خطوة 3.11.1.17.2

أخرِج العامل $10$ من $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.17.3

أخرِج العامل $10$ من $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

خطوة 3.11.1.18

اجمع $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ و $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.19

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.20

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.20.1

أخرِج العامل $2$ من ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.20.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.20.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.20.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.20.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.1.21

انقُل $5$ إلى يسار ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

خطوة 3.11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

خطوة 3.11.3

أخرِج العامل $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ من $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

خطوة 3.11.4

اضرب $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

اضرب $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ في $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.11.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.5

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.6.1

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.3

اجمع $\frac{4}{2}$ و ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.6.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.6.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.6.4.2.4

اقسِم $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ على $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

خطوة 5.1.3.8

اضرب ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ في $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1.1

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 5.1.4.1.2

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

خطوة 5.1.4.1.3

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

خطوة 5.1.4.1.4

أخرِج العامل ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ من ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

خطوة 5.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1

لكتابة $2 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

خطوة 5.1.4.2.2

اجمع $2 x$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

خطوة 5.1.4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

خطوة 5.1.4.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

خطوة 5.1.4.2.5

أضف $4 x$ و $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

خطوة 6.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

خطوة 6.3

عيّن قيمة العبارة ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عيّن قيمة ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

خطوة 6.3.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

عيّن قيمة $\frac{x}{2} - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x}{2} - 5 = 0$

خطوة 6.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{x}{2} = 5$

خطوة 6.3.2.2.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.2.2.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.2.2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 \cdot 5$

خطوة 6.3.2.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.3.2.1

اضرب $2$ في $5$ .

$x = 10$

خطوة 6.4

عيّن قيمة العبارة $\frac{5 x}{2} - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $\frac{5 x}{2} - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

خطوة 6.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{5 x}{2} - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{5 x}{2} = 5$

خطوة 6.4.2.2

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.1

بسّط $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

خطوة 6.4.2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2$

خطوة 6.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 10, 2$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 10, 2$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 10$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)}{4}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احذِف العامل المشترك لـ $(10) - 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أخرِج العامل $2$ من $5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{4}$

خطوة 10.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 (2)}$

خطوة 10.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 \cdot 2}$

خطوة 10.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2)}{2}$

خطوة 10.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $10$ من $10$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} (5 - 2)}{2}$

خطوة 10.2.2

اطرح $2$ من $5$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} \cdot 3}{2}$

خطوة 10.2.3

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2}}{2}$

خطوة 10.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{15 \cdot 0}{2}$

خطوة 10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $15$ في $0$ .

$\frac{0}{2}$

خطوة 10.3.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$0$

خطوة 11

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 2) \cup (2, 10) \cup (10, \infty)$

خطوة 11.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق الأول ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

خطوة 11.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$f' (0) = {(0 - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

خطوة 11.2.2.2

اطرح $5$ من $0$ .

$f' (0) = {(- 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

خطوة 11.2.2.3

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

خطوة 11.2.2.4

اضرب $5$ في $0$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{0}{2} - 5)$

خطوة 11.2.2.5

اقسِم $0$ على $2$ .

$f' (0) = - 125 (0 - 5)$

خطوة 11.2.2.6

اطرح $5$ من $0$ .

$f' (0) = - 125 \cdot - 5$

خطوة 11.2.2.7

اضرب $- 125$ في $- 5$ .

$f' (0) = 625$

خطوة 11.2.2.8

الإجابة النهائية هي $625$ .

$625$

خطوة 11.3

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(2, 10)$ في المشتق الأول ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = {(\frac{6}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

خطوة 11.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

اقسِم $6$ على $2$ .

$f' (6) = {(3 - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

خطوة 11.3.2.2

اطرح $5$ من $3$ .

$f' (6) = {(- 2)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

خطوة 11.3.2.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

خطوة 11.3.2.4

اضرب $5$ في $6$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{30}{2} - 5)$

خطوة 11.3.2.5

اقسِم $30$ على $2$ .

$f' (6) = - 8 (15 - 5)$

خطوة 11.3.2.6

اطرح $5$ من $15$ .

$f' (6) = - 8 \cdot 10$

خطوة 11.3.2.7

اضرب $- 8$ في $10$ .

$f' (6) = - 80$

خطوة 11.3.2.8

الإجابة النهائية هي $- 80$ .

$- 80$

خطوة 11.4

عوّض بأي عدد، مثل $12$ ، من الفترة $(10, \infty)$ في المشتق الأول ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $12$ في العبارة.

$f' (12) = {(\frac{12}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

خطوة 11.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

اقسِم $12$ على $2$ .

$f' (12) = {(6 - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

خطوة 11.4.2.2

اطرح $5$ من $6$ .

$f' (12) = 1^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

خطوة 11.4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (12) = 1 (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

خطوة 11.4.2.4

اضرب $\frac{5 (12)}{2} - 5$ في $1$ .

$f' (12) = \frac{5 (12)}{2} - 5$

خطوة 11.4.2.5

اضرب $5$ في $12$ .

$f' (12) = \frac{60}{2} - 5$

خطوة 11.4.2.6

اقسِم $60$ على $2$ .

$f' (12) = 30 - 5$

خطوة 11.4.2.7

اطرح $5$ من $30$ .

$f' (12) = 25$

خطوة 11.4.2.8

الإجابة النهائية هي $25$ .

$25$

خطوة 11.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 2$ ، إذن $x = 2$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 10$ ، إذن $x = 10$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 10$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

$x = 10$ هي حد أدنى محلي

$x = 2$ هي حد أقصى محلي

$x = 10$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12