حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $a$ .

$3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 a x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$3 a x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + 0$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

أضف $3 a x^{2} + 4 x + 2$ و $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2$

خطوة 1.1.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 3 x^{2} a + 4 x + 2$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} a + 4 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $3 a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} a$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 a x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 a x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 a x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$6 a x + 4 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 a x + 4 + 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $6 a x + 4$ و $0$ .

$f'' (x) = 6 a x + 4$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 a x + 4$ .

$6 a x + 4$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $6 a x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 a x + 4 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$6 a x = - 4$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $6 a x = - 4$ على $6 a$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $6 a x = - 4$ على $6 a$ .

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

خطوة 2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{6 a}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6 a}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 a$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{2 (3 a)}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 a)}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 2}{3 a}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{2}{3 a}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- \frac{2}{3 a}$ في $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{2}{3 a}$ في العبارة.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- \frac{2}{3 a})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3 a})}^{3}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{{(3 a)}^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} a (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.3.1

أخرِج العامل $a$ من ${(- 1)}^{3} a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.3.2

أخرِج العامل $a$ من $3^{3} a^{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.4

اجمع ${(- 1)}^{3}$ و $\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.5.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.7

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.9

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3 a})}^{2}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{{(3 a)}^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.9.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.11

اضرب $\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.13

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{9 a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.14

اضرب $2 \frac{4}{9 a^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.14.1

اجمع $2$ و $\frac{4}{9 a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{2 \cdot 4}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.14.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

خطوة 3.1.2.1.15

اضرب $2 (- \frac{2}{3 a})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.15.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - 2 \frac{2}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.1.15.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.1.15.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.1.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.2

لكتابة $\frac{8}{9 a^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $27 a^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $\frac{8}{9 a^{2}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{9 a^{2} \cdot 3} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $3$ في $9$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $8$ في $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 24}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.5.2

أضف $- 8$ و $24$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$ .

$\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{2}{3 a}$ في $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ هي $(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{2}{3 a}) \cup (- \frac{2}{3 a}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $N^{2} a - 0.1$ في العبارة.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a - 0.1) + 4$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

انقُل $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $a$ في $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 0.1$ في $6$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $N^{2} a - 0.1$ يساوي $N a N$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $N^{2} a + 0.1$ في العبارة.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a + 0.1) + 4$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot 0.1 + 4$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

انقُل $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

خطوة 6.2.1.2.2

اضرب $a$ في $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $0.1$ في $6$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $N^{2} a + 0.1$ يساوي $N a N$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$

تناقص خلال $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. لا توجد نقاط على الرسم البياني تستوفي هذه المتطلبات.

لا توجد نقاط انقلاب