حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 e^{x} - e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{2 x})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - \frac{d}{d x} e^{2 x}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

خطوة 1.1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 8 e^{x} - 2 e^{2 x}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 e^{x} - 2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 1.2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

خطوة 1.2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

خطوة 1.2.3.7

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $8 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$8 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $e^{2 x}$ بالصيغة ${(e^{x})}^{2}$ .

$8 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = e^{x}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $e^{x}$ .

$8 u - 4 u^{2} = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $4 u$ من $8 u - 4 u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $4 u$ من $8 u$ .

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

خطوة 2.2.3.2

أخرِج العامل $4 u$ من $- 4 u^{2}$ .

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

خطوة 2.2.3.3

أخرِج العامل $4 u$ من $4 u (2) + 4 u (- u)$ .

$4 u (2 - u) = 0$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x}$ .

$4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 - e^{x} = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $2 - e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $2 - e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - e^{x} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- e^{x} = - 2$

خطوة 2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- e^{x} = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- e^{x} = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.2.2

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$e^{x} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$e^{x} = 2$

خطوة 2.5.2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

خطوة 2.5.2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (2)$

خطوة 2.5.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

خطوة 2.5.2.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (2)$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 e^{x} (2 - e^{x}) = 0$ صحيحة.

$x = \ln (2)$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\ln (2)$ في $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\ln (2)$ في العبارة.

$f (\ln (2)) = 8 e^{\ln (2)} - e^{2 (\ln (2))}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (2)) = 8 \cdot 2 - e^{2 (\ln (2))}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $8$ في $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - e^{2 (\ln (2))}$

خطوة 3.1.2.1.3

بسّط $2 (\ln (2))$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (\ln (2)) = 16 - e^{\ln (2^{2})}$

خطوة 3.1.2.1.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (2)) = 16 - 2^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 1 \cdot 4$

خطوة 3.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (\ln (2)) = 16 - 4$

خطوة 3.1.2.2

اطرح $4$ من $16$ .

$f (\ln (2)) = 12$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\ln (2)$ في $f (x) = 8 e^{x} - e^{2 x}$ هي $(\ln (2), 12)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\ln (2), 12)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \ln (2)) \cup (\ln (2), \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \ln (2))$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.59314718$ في العبارة.

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{2 (0.59314718)}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $0.59314718$ .

$f'' (0.59314718) = 8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$ .

$8 e^{0.59314718} - 4 e^{1.18629436}$

خطوة 5.3

في $0.59314718$ ، المشتق الثاني هو $1.37770663$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \ln (2))$ .

تزايد خلال $(- \infty, \ln (2))$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\ln (2), \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.79314718$ في العبارة.

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{2 (0.79314718)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0.79314718$ .

$f'' (0.79314718) = 8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$ .

$8 e^{0.79314718} - 4 e^{1.58629436}$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.79314718$ يساوي $- 1.85970944$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\ln (2), \infty)$

تناقص خلال $(\ln (2), \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\ln (2), 12)$ .

$(\ln (2), 12)$

خطوة 8