حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $a^{2} \cos (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

خطوة 1.1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

خطوة 1.1.2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

خطوة 1.1.2.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة $- 1 a^{2}$ بالصيغة $- a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

خطوة 2

بما أن $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ، استبدِل $\cos (θ)$ بـ $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

خطوة 3

بما أن $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ، استبدِل $r^{2}$ بـ $x^{2} + y^{2}$ و $r$ بـ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

خطوة 4

اكتب بالصيغة القياسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

خطوة 4.1.2

أضف $a^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2

بسّط $x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.2

ارفع $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.3

ارفع $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.2.6.5

بسّط.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ بالصيغة $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.4.5

بسّط.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2}$ و ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

أخرِج العامل $x^{2} + y^{2}$ من $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + y^{2}$ من ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1

اجمع $- 2$ و $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.6.2

اجمع $a^{2}$ و $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.7

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.8

انقُل $- 2$ إلى يسار $a^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.2

لكتابة $x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 2 a^{2} x^{2}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.5

لكتابة $y^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.2

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.4.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.4.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.4.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.5

أضف $y^{2} x^{2}$ و $x^{2} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.5.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.7.5.2

أضف $x^{2} y^{2}$ و $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

خطوة 4.2.8

لكتابة $a^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

خطوة 4.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

خطوة 4.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

خطوة 4.2.10.2

أضف $- 2 x^{2} a^{2}$ و $a^{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

خطوة 4.2.10.2.2

أضف $- 2 a^{2} x^{2}$ و $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

خطوة 5