حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{4} + 1)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{4} + 1)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + 0)$

خطوة 2.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3})$

خطوة 2.1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 1} x^{3}$

خطوة 2.1.2.4.3

اجمع $\frac{4}{x^{4} + 1}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x^{3} = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $4 x^{3} = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 x^{3} = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.1.2.1.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 3.3.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.3.3

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3}}{{(- 1)}^{4} + 1}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{4} + 1}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{1 + 1}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{2}$

خطوة 6.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{2}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$f' (- 1) = - 2$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- 2$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{4 {(1)}^{3}}{{(1)}^{4} + 1}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1^{4} + 1}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{2}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{2}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $4$ على $2$ .

$f' (1) = 2$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0)$

خطوة 9