حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{4 x}$

خطوة 1

اكتب $e^{4 x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{4 x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

خطوة 2.1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4$

خطوة 2.1.2.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 e^{4 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 e^{4 x} = 0$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (0)$

خطوة 3.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4

لا يوجد حل لـ $4 e^{4 x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 4

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 5

لا توجد نقاط تجعل قيمة المشتق $f' (x) = 4 e^{4 x}$ مساوية لـ $0$ أو غير معرّفة. وتمثل $(- \infty, \infty)$ الفترة اللازمة للتحقق من تزايد أو تناقص $f (x) = e^{4 x}$ .

$(- \infty, \infty)$

خطوة 6

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق $f' (x) = 4 e^{4 x}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة. إذا كانت النتيجة سالبة، فإن الرسم البياني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ . أما إذا كانت النتيجة موجبة، فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 4 e^{4 (1)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (1) = 4 e^{4}$

خطوة 6.2.2

الإجابة النهائية هي $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

خطوة 7

نتيجة التعويض بـ $1$ في $f' (x) = 4 e^{4 x}$ هي $4 e^{4}$ ، وهي موجبة، لذا فإن الرسم البياني يتزايد خلال الفترة $(- \infty, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \infty, \infty)$ نظرًا إلى أن $4 e^{4 x} > 0$

خطوة 8

يعني التزايد على مدى الفترة $(- \infty, \infty)$ أن الدالة تتزايد دائمًا.

متزايد دائمًا

خطوة 9