حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \cos^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $- \cos^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.1.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

خطوة 2.1.6.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

خطوة 2.1.6.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$f' (x) = \sin (2 x)$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\sin (2 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

خطوة 3.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (0)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$2 x = 0$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = π - 0$

خطوة 3.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 x = π + 0$

خطوة 3.6.1.2

أضف $π$ و $0$ .

$2 x = π$

خطوة 3.6.2

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.6.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.7

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.7.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.7.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.8

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \sin (2 x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = - \cos^{2} (x)$ هو $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π n}{2})$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π n}{2} - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

خطوة 6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

خطوة 6.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{π n}{2} - 1$ هو $\sin (π n - 2)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π n}{2})$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π n}{2}, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π n}{2} + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

خطوة 7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

خطوة 7.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

خطوة 7.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

خطوة 7.3

المشتق في $x = \frac{π n}{2} + 1$ هو $\sin (π n + 2)$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{π n}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

خطوة 9