حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.4.4

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.4.5.2

اضرب $x - 7$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.1

أعِد كتابة ${(x - 7)}^{2}$ بالصيغة $(x - 7) (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.2

وسّع $(x - 7) (x - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.3.1.2

انقُل $- 7$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.3.1.3

اضرب $- 7$ في $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.3.2

اطرح $7 x$ من $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.5.1

اضرب $- 14$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.5.2

اضرب $2$ في $49$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.7.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.7.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.7.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.7.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.7.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.7.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.7.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.8.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.1.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.1.9

اضرب $- 7$ في $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.2.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.2.2

أضف $- 28 x^{2} + 98 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.2.3

أضف $- 28 x^{2}$ و $14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.3

أخرِج العامل $14 x$ من $- 14 x^{2} + 98 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.3.1

أخرِج العامل $14 x$ من $- 14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.3.2

أخرِج العامل $14 x$ من $98 x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.3.3

أخرِج العامل $14 x$ من $14 x (- x) + 14 x (7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $- x + 7$ و ${(x - 7)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4.2

أعِد كتابة $7$ بالصيغة $- 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4.4

أعِد كتابة $- (x - 7)$ بالصيغة $- 1 (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4.5

أخرِج العامل $x - 7$ من $14 x (- 1 (x - 7))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

خطوة 2.1.5.4.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.4.6.1

أخرِج العامل $x - 7$ من ${(x - 7)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

خطوة 2.1.5.4.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

خطوة 2.1.5.4.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

خطوة 2.1.5.5

اضرب $- 1$ في $14$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

خطوة 2.1.5.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$14 x = 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $14 x = 0$ على $14$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $14 x = 0$ على $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $14$ .

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

أوجِد الموضع الذي يكون فيه المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 7)}^{3} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 5.2.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $14$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $7$ من $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

ارفع $- 8$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 14$ و $- 512$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 14$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 512$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{256}$ .

$- \frac{7}{256}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{7}{256}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 7)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $14$ و $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

لكتابة $- 7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

اجمع $- 7$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

اضرب $- 7$ في $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.4.2

اطرح $14$ من $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.6

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

خطوة 8.2.2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

خطوة 8.2.2.9

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

خطوة 8.2.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

خطوة 8.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $14$ في $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

خطوة 8.2.3.2

اقسِم $98$ على $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

خطوة 8.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

خطوة 8.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{8}{343}$ إلى بسط الكسر.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

خطوة 8.2.5.2

أخرِج العامل $49$ من $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

خطوة 8.2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

خطوة 8.2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

خطوة 8.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

خطوة 8.3

المشتق في $x = \frac{7}{2}$ هو $\frac{8}{7}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 7)$ .

تزايد خلال $(0, 7)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(7, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $14$ في $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $7$ من $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

خطوة 9.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

خطوة 9.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اقسِم $112$ على $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $- 1$ في $112$ .

$f' (8) = - 112$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- 112$ .

$- 112$

خطوة 9.3

المشتق في $x = 8$ هو $- 112$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(7, \infty)$ .

تناقص خلال $(7, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 10

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, 7)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0), (7, \infty)$

خطوة 11