حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 x - y^{2} = 23 y$ ; $(3, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (8 x - y^{2}) = \frac{d}{d x} (23 y)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$8 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$8 - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 - (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$8 - 2 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 y y' + 8$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $23$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $23 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $23 \frac{d}{d x} [y]$ .

$23 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$23 y'$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 y y' + 8 = 23 y'$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $23 y'$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' + 8 - 23 y' = 0$

خطوة 1.5.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' - 23 y' = - 8$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' - 23 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - 23 y' = - 8$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 23 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot - 23 = - 8$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 y) + y' \cdot - 23$ .

$y' (- 2 y - 23) = - 8$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (- 2 y - 23) = - 8$ على $- 2 y - 23$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (- 2 y - 23) = - 8$ على $- 2 y - 23$ .

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 y - 23$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{8}{- 2 y - 23}$

خطوة 1.5.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 23}$

خطوة 1.5.4.3.3

أعِد كتابة $- 23$ بالصيغة $- 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 1 (23)}$

خطوة 1.5.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y) - 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y + 23)}$

خطوة 1.5.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 y + 23)$ بالصيغة $- 1 (2 y + 23)$ .

$y' = - \frac{8}{- 1 (2 y + 23)}$

خطوة 1.5.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - - \frac{8}{2 y + 23}$

خطوة 1.5.4.3.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8}{2 y + 23}$

خطوة 1.5.4.3.5.4

اضرب $\frac{8}{2 y + 23}$ في $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y + 23}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{2 y + 23}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$\frac{8}{2 y + 23}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{8}{2 (1) + 23}$

خطوة 1.7.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{8}{2 + 23}$

خطوة 1.7.3.2

أضف $2$ و $23$ .

$\frac{8}{25}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{8}{25}$ ونقطة مُعطاة $(3, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{8}{25} \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{8}{25} \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = \frac{8}{25} x + \frac{8}{25} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{8}{25}$ و $x$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8}{25} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{8}{25} \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{8}{25}$ و $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8 \cdot - 3}{25}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $8$ في $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 1 = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + \frac{25}{25}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24 + 25}{25}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $- 24$ و $25$ .

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{1}{25}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{8}{25} x + \frac{1}{25}$

خطوة 3