حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 2 \sqrt{5 y}$ , $x = 0$ , $y = 5$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{10} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 5$ و $g (x) = \frac{x^{2}}{20}$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$V = 25 - {(\frac{x^{2}}{20})}^{2}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{2}}{20}$ .

$V = 25 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{20^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 25 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{20^{2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$V = 25 - \frac{x^{4}}{20^{2}}$

خطوة 2.4

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$V = 25 - \frac{x^{4}}{400}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{10} 25 d x + \int_{0}^{10} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (25 x]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{x^{4}}{400} d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{x^{4}}{400} d x)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{400}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{400}$ خارج التكامل.

$V = π (25 x]_{0}^{10} - (\frac{1}{400} \cdot \int_{0}^{10} x^{4} d x))$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{10})$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \frac{1}{400} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10})$

خطوة 8.1.2

اجمع $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10}$ و $\frac{1}{400}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{10} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10}}{400})$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $25 x$ في $10$ وفي $0$ .

$V = π ((25 \cdot 10) - 25 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{10}}{400})$

خطوة 8.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $10$ وفي $0$ .

$V = π ((25 \cdot 10) - 25 \cdot 0 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

اضرب $25$ في $10$ .

$V = π (250 - 25 \cdot 0 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.2

اضرب $- 25$ في $0$ .

$V = π (250 + 0 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.3

أضف $250$ و $0$ .

$V = π (250 - \frac{(\frac{10^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.4

ارفع $10$ إلى القوة $5$ .

$V = π (250 - \frac{\frac{100000}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $100000$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.5.1

أخرِج العامل $5$ من $100000$ .

$V = π (250 - \frac{\frac{5 \cdot 20000}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.5.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (250 - \frac{\frac{5 \cdot 20000}{5 (1)} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (250 - \frac{\frac{5 \cdot 20000}{5 \cdot 1} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (250 - \frac{\frac{20000}{1} - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.5.2.4

اقسِم $20000$ على $1$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{0^{5}}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{0}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.7.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{5 (0)}{5}}{400})$

خطوة 8.2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.7.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

خطوة 8.2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{400})$

خطوة 8.2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (250 - \frac{20000 - \frac{0}{1}}{400})$

خطوة 8.2.3.7.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (250 - \frac{20000 - 0}{400})$

خطوة 8.2.3.8

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000 + 0}{400})$

خطوة 8.2.3.9

أضف $20000$ و $0$ .

$V = π (250 - \frac{20000}{400})$

خطوة 8.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $20000$ و $400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.10.1

أخرِج العامل $400$ من $20000$ .

$V = π (250 - \frac{400 \cdot 50}{400})$

خطوة 8.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $400$ من $400$ .

$V = π (250 - \frac{400 \cdot 50}{400 (1)})$

خطوة 8.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (250 - \frac{400 \cdot 50}{400 \cdot 1})$

خطوة 8.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (250 - \frac{50}{1})$

خطوة 8.2.3.10.2.4

اقسِم $50$ على $1$ .

$V = π (250 - 1 \cdot 50)$

خطوة 8.2.3.11

اضرب $- 1$ في $50$ .

$V = π (250 - 50)$

خطوة 8.2.3.12

اطرح $50$ من $250$ .

$V = π \cdot 200$

خطوة 8.2.3.13

انقُل $200$ إلى يسار $π$ .

$V = 200 π$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = 200 π$

الصيغة العشرية:

$V = 628.31853071 \dots$

خطوة 10