حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $\frac{1}{e}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

خطوة 1.2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, e + y = 0$

خطوة 1.2.2.2

بما أن $x, e$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $1, 1$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $x^{1}$ .

خطوة 1.2.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

$1$ اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

خطوة 1.2.2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.2.2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1 + y = 0$

خطوة 1.2.2.6

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x = x$

خطوة 1.2.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x + y = 0$

خطوة 1.2.3

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ في $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

خطوة 1.2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{1}{e} x$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اجمع $\frac{1}{e}$ و $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

خطوة 1.2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

خطوة 1.2.4.2

اضرب كلا المتعادلين في $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = e \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.3.2.1

اضرب $e$ في $1$ .

$x = e$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $e$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(e, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

خطوة 3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

خطوة 3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ و $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

خطوة 3.6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

احسِب قيمة $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ في $e$ وفي $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

خطوة 3.6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1

اجمع $e$ و $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

خطوة 3.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

خطوة 3.6.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

خطوة 3.6.2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

خطوة 3.6.2.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

خطوة 3.7.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

خطوة 3.7.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

خطوة 3.7.1.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

خطوة 3.7.1.4

اطرح $\frac{1}{e}$ من $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

خطوة 3.7.1.5

اضرب $- - \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

خطوة 3.7.1.5.2

اضرب $\frac{1}{e}$ في $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

خطوة 3.7.2

اطرح $1$ من $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

خطوة 3.7.3

أضف $0$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

خطوة 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $e$ و $e^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

خطوة 5.2

اطرح $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ من $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

خطوة 5.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

خطوة 5.6

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

خطوة 5.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

خطوة 5.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $e^{3}$ وفي $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

خطوة 5.8.1.2

احسِب قيمة $\frac{1}{e} x$ في $e^{3}$ وفي $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.3.1

اجمع $\frac{1}{e}$ و $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3}$ و $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.3.2.1

أخرِج العامل $e$ من $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.3.2.2.1

اضرب في $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3.2.2.4

اقسِم $e^{2}$ على $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

خطوة 5.8.1.3.3

اجمع $e$ و $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

خطوة 5.8.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

خطوة 5.8.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 5.8.1.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

$e^{3}$ تساوي تقريبًا $20.08553692$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.2

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3}$ و $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.3.1

أخرِج العامل $e$ من $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.3.2.1

اضرب في $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.3.2.4

اقسِم $e^{2}$ على $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2$ خارج الأُس.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

خطوة 5.8.3.8

اطرح $1$ من $- 2$ .

$e^{2} - 3$

خطوة 6