حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$4 e^{x} - 3 = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 e^{x} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$4 e^{x} = 3$

خطوة 1.2.2

اقسِم كل حد في $4 e^{x} = 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 e^{x} = 3$ على $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

خطوة 1.2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 1.2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 1.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\ln (\frac{3}{4})$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 4$ و $\ln (\frac{3}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

خطوة 3.2

اطرح $4 e^{x} - 3$ من $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

خطوة 3.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

خطوة 3.4.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

خطوة 3.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

خطوة 3.7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

خطوة 3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

خطوة 3.9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

احسِب قيمة $e^{x}$ في $\ln (\frac{3}{4})$ وفي $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

خطوة 3.9.2

احسِب قيمة $3 x$ في $\ln (\frac{3}{4})$ وفي $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

خطوة 3.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

خطوة 3.9.3.2

اضرب $- 3$ في $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.5

اضرب $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.1.5.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

خطوة 3.10.2

أضف $- 3$ و $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

خطوة 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $\ln (\frac{3}{4})$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $\ln (\frac{3}{4})$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

خطوة 5.1.2

اطرح $4 e^{x} - 3$ من $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

خطوة 5.1.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

خطوة 5.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

خطوة 5.1.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

خطوة 5.1.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

خطوة 5.1.7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

خطوة 5.1.8

طبّق قاعدة الثابت.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

خطوة 5.1.9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.9.1

احسِب قيمة $e^{x}$ في $3$ وفي $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

خطوة 5.1.9.2

احسِب قيمة $3 x$ في $3$ وفي $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.9.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.9.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.10.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{4}$ إلى بسط الكسر.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10.1.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.1.10.2

أضف $3$ و $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.2

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

خطوة 5.3

اطرح $0$ من $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

خطوة 5.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

خطوة 5.6

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

خطوة 5.7

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

خطوة 5.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

احسِب قيمة $e^{x}$ في $3$ وفي $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

خطوة 5.8.2

احسِب قيمة $- 3 x$ في $3$ وفي $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.8.3.2

اضرب $- 3$ في $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.9.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{4}$ إلى بسط الكسر.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.9.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.9.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 5.9.2

اطرح $9$ من $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 6

اجمع المساحات $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

بسّط $3 \ln (\frac{3}{4})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 6.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 6.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 6.1.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

خطوة 6.1.5

بسّط $3 \ln (\frac{3}{4})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

خطوة 6.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

خطوة 6.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

خطوة 6.1.8

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

خطوة 6.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{27}{64}$ في $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

خطوة 6.3.2

اضرب $27$ في $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

خطوة 6.3.3

اضرب $64$ في $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

خطوة 6.4

اطرح $12$ من $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

خطوة 7