حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$6 = 0$

خطوة 1.2.2

بما أن $6 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

خطوة 3.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

خطوة 3.4

لنفترض أن $u = 8 x - 1$ . إذن $d u = 8 d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

افترض أن $u = 8 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أوجِد مشتقة $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

خطوة 3.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.4.1.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 + 0$

خطوة 3.4.1.4.2

أضف $8$ و $0$ .

$8$

خطوة 3.4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 8 x - 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

خطوة 3.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب $8$ في $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

خطوة 3.4.3.2

اطرح $1$ من $32$ .

$u_{lower} = 31$

خطوة 3.4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 8 x - 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

خطوة 3.4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

اضرب $8$ في $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

خطوة 3.4.5.2

اطرح $1$ من $64$ .

$u_{upper} = 63$

خطوة 3.4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

خطوة 3.5.2

انقُل $8$ إلى يسار $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

خطوة 3.6

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

خطوة 3.8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

خطوة 3.9

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $63$ وفي $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

خطوة 3.10.2

اجمع $\frac{3}{4}$ و $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $63$ تساوي $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

خطوة 3.11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $31$ تساوي $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

خطوة 4

اجمع المساحات $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط $3 \ln (\frac{63}{31})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{63}{31}$ .

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

خطوة 4.2.2

ارفع $63$ إلى القوة $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

خطوة 4.2.3

ارفع $31$ إلى القوة $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ بالصيغة $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

خطوة 4.4

بسّط $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ بنقل $\frac{1}{4}$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

خطوة 4.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{250047}{29791}$ .

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

خطوة 5