حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2}}{\ln (\sec (x))}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2.1.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.2.3.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

خطوة 1.3.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{0}{\ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\ln (\sec (0))}$

خطوة 1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

خطوة 1.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2}}{\ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.5.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.7

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.8

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

خطوة 3.9

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

خطوة 3.10

احذِف الأقواس.

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\sec (x) \cos (x) \tan (x)}$

خطوة 3.11.1.2

أعِد كتابة $\cos (x) \sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)}$

خطوة 3.11.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{1 \tan (x)}$

خطوة 3.11.2

اضرب $\tan (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\tan (x)}$

خطوة 3.11.3

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{10 x}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} 10 x \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $10$ و $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{10 \cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 5.2

اجمع $x$ و $\frac{10 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (10 \cos (x))}{\sin (x)}$

خطوة 6

انقُل الحد $10$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$10 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

خطوة 7

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$10 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$10 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$10 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.2.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.2.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.2.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$10 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.2.4.2

اضرب $0$ في $1$ .

$10 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 7.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$10 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 7.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 7.1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$10 (\frac{0}{0})$

خطوة 7.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$10 (\frac{0}{0})$

خطوة 7.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$10 (\frac{0}{0})$

خطوة 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$10 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$10 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$10 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3.5

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$10 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$10 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 7.3.7

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$10 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$10 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 8.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$10 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 8.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$10 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 8.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$10 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 8.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$10 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 8.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$10 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 9

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 9.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 9.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$10 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$10 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

خطوة 10.1.2

اضرب $0$ في $0$ .

$10 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

خطوة 10.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$10 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

خطوة 10.1.4

أضف $0$ و $1$ .

$10 \frac{1}{\cos (0)}$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$10 (\frac{1}{1})$

خطوة 10.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 (\frac{1}{1})$

خطوة 10.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 \cdot 1$

خطوة 10.4

اضرب $10$ في $1$ .

$10$