حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 x^{3}$ , $y = 0$ , $x = 1$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 8 x^{3}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $8 x^{3}$ .

$V = 8^{2} {(x^{3})}^{2}$

خطوة 2.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$V = 64 {(x^{3})}^{2}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 x^{3 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$V = 64 x^{6}$

خطوة 3

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $64$ خارج التكامل.

$V = π (64 \int_{0}^{1} x^{6} d x)$

خطوة 4

انقُل $64$ إلى يسار $π$ .

$V = 64 π \int_{0}^{1} x^{6} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = 64 π \frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{1}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $x^{7}$ .

$V = 64 π \frac{x^{7}}{7}]_{0}^{1}$

خطوة 6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{7}}{7}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = 64 π ((\frac{1^{7}}{7}) - \frac{0^{7}}{7})$

خطوة 6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = 64 π (\frac{1}{7} - \frac{0^{7}}{7})$

خطوة 6.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = 64 π (\frac{1}{7} - \frac{0}{7})$

خطوة 6.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

أخرِج العامل $7$ من $0$ .

$V = 64 π (\frac{1}{7} - \frac{7 (0)}{7})$

خطوة 6.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$V = 64 π (\frac{1}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

خطوة 6.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = 64 π (\frac{1}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

خطوة 6.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = 64 π (\frac{1}{7} - \frac{0}{1})$

خطوة 6.2.2.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = 64 π (\frac{1}{7} - 0)$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = 64 π (\frac{1}{7} + 0)$

خطوة 6.2.2.5

أضف $\frac{1}{7}$ و $0$ .

$V = 64 π (\frac{1}{7})$

خطوة 6.2.2.6

اجمع $\frac{1}{7}$ و $64$ .

$V = \frac{64}{7} \cdot π$

خطوة 6.2.2.7

اجمع $\frac{64}{7}$ و $π$ .

$V = \frac{64 π}{7}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{64 π}{7}$

الصيغة العشرية:

$V = 28.72313283 \dots$

خطوة 8