حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (6 x - 5) \sqrt{8 x - 3}$ ; $x = 1$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{8 x - 3}$ في صورة ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 6 x - 5$ و $g (x) = {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 8 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{{(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 8.3

انقُل ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 10

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 12

اضرب $8$ في $1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 13

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $8$ و $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 14.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(6 x - 5) \frac{8}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 14.3

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 15

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 17

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 19

اضرب $6$ في $1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 20

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + 0)$

خطوة 21

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

أضف $6$ و $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$

خطوة 21.2

انقُل $6$ إلى يسار ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 22

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

اضرب $6 x - 5$ في $\frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(6 x - 5) \cdot 4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 22.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $6 x - 5$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 22.2

لكتابة $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (6 x - 5)$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5) + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 (6 x) + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.3

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{2 (12 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.4

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.5

اضرب ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.4.5.1

انقُل ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{2}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.5.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{1})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.6

بسّط $3 {(8 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x - 3))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.8

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.9

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.10

أضف $12 x$ و $24 x$ .

$\frac{2 (36 x - 10 - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.4.11

اطرح $9$ من $- 10$ .

$\frac{2 (36 x - 19)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{2 (36 (1) - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1

اضرب $36$ في $1$ .

$\frac{2 (36 - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.1.2

اطرح $19$ من $36$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.2

اطرح $3$ من $8$ .

$\frac{2 \cdot 17}{5^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.3

اضرب $2$ في $17$ .

$\frac{34}{5^{\frac{1}{2}}}$