حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x - x^{- 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$1 + x^{- 2}$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{- 2} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

خطوة 2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

خطوة 2.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

خطوة 2.4

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{2}, 1$

خطوة 2.4.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x^{2}$

خطوة 2.5

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ في $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

خطوة 2.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = - x^{2}$

خطوة 2.6

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

خطوة 2.6.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.6.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 2.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

خطوة 2.6.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 2.6.4

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 2.6.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 2.6.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 2.6.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 3

لا توجد قيم لـ $x$ في نطاق المسألة الأصلية بها المشتق يساوي $0$ أو غير معرّف.

لم يتم العثور على نقاط حرجة

خطوة 4

عيّن قيمة الأساس في $x^{- 2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = x^{- 2} + 1$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = x - x^{- 1}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

خطوة 6.2.1.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

خطوة 6.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f' (- 1) = 2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 1 + 1$

خطوة 7.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f' (1) = 2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

خطوة 9