حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[0, 3]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

خطوة 3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

خطوة 3.1.2.3

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(0, 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(0, 3)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(0, 3)$ لأن المشتق متصل على $(0, 3)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[0, 3]$ وقابلة للاشتقاق على $(0, 3)$ .

$f (x)$ متصلة على $[0, 3]$ وقابلة للاشتقاق على $(0, 3)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[0, 3]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 7.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 8

احسِب قيمة $f (b)$ من الفترة $[0, 3]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $5$ في $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

خطوة 8.2.2

أضف $27$ و $45$ .

$f (3) = 72$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $72$ .

$72$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

خطوة 9.1.1.2

أضف $72$ و $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

خطوة 9.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

خطوة 9.1.2.2

أضف $3$ و $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

خطوة 9.1.3

اقسِم $72$ على $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

خطوة 9.2

اطرح $24$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

خطوة 9.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 9.4

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = 10$ و $c = - 24$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.1.3

أضف $100$ و $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.1.4

أعِد كتابة $388$ بالصيغة $2^{2} \cdot 97$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.5.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

خطوة 9.5.3

بسّط $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.1.3

أضف $100$ و $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.1.4

أعِد كتابة $388$ بالصيغة $2^{2} \cdot 97$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

خطوة 9.6.3

بسّط $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.6.5

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

خطوة 9.6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

خطوة 9.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.1.2.2

اضرب $- 12$ في $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.1.3

أضف $100$ و $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.1.4

أعِد كتابة $388$ بالصيغة $2^{2} \cdot 97$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

خطوة 9.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

خطوة 9.7.3

بسّط $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.7.5

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

خطوة 9.7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

خطوة 9.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

خطوة 9.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

خطوة 10

يوجد خط مماس عند $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 3$ .

يوجد خط مماس عند $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 3$

خطوة 11

يوجد خط مماس عند $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 3$ .

يوجد خط مماس عند $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 0$ و $b = 3$

خطوة 12