حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

خطوة 6

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\sin (x)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

خطوة 7.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

خطوة 7.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 7.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

خطوة 7.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

خطوة 7.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

خطوة 7.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

خطوة 7.3.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

خطوة 8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $\frac{π + π}{2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $π$ و $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

خطوة 8.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اختزِل العبارة $\frac{2 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

خطوة 8.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

خطوة 8.2.2.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{π}$ و $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

خطوة 9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

خطوة 10