حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 4$ , $y = 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 4 = 2$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 4 = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 2 + 4$

خطوة 1.2.1.2

أضف $2$ و $4$ .

$x^{2} = 6$

خطوة 1.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{6}$

خطوة 1.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{6}$

خطوة 1.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{6}$

خطوة 1.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{6}$ .

$y = 2$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 d x - \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} - 4 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- \sqrt{6}$ و $\sqrt{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - (x^{2} - 4) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 - x^{2} - - 4$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$2 - x^{2} + 4$

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - x^{2} + 4 d x$

خطوة 3.3

أضف $2$ و $4$ .

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} + 6 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

خطوة 3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $\sqrt{6}$ وفي $- \sqrt{6}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

خطوة 3.9.1.2

احسِب قيمة $6 x$ في $\sqrt{6}$ وفي $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.2

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{6}))}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $- (\sqrt{6})$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{6^{3}}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.7

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - - \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + 1 \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.10

اضرب $\frac{\sqrt{216}}{3}$ في $1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{216} + \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.12

أضف $\sqrt{216}$ و $\sqrt{216}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

خطوة 3.9.1.3.13

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.1.3.14

أضف $6 \sqrt{6}$ و $6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

أعِد كتابة $216$ بالصيغة $6^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.1

أخرِج العامل $36$ من $216$ .

$- \frac{2 \sqrt{36 (6)}}{3} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.1.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{2 (6 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.3

اضرب $6$ في $2$ .

$- \frac{12 \sqrt{6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 (1)} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4 \sqrt{6}}{1} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.4.2.4

اقسِم $4 \sqrt{6}$ على $1$ .

$- (4 \sqrt{6}) + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6}$

خطوة 3.9.2.6

أضف $- 4 \sqrt{6}$ و $12 \sqrt{6}$ .

$8 \sqrt{6}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$8 \sqrt{6}$

الصيغة العشرية:

$19.59591794 \dots$

خطوة 5