حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 4 x$ , $y = - x^{2} + 6 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 4 x = - x^{2} + 6 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 4 x = - x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 4 x + x^{2} = 6 x$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $6 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 4 x + x^{2} - 6 x = 0$

خطوة 1.2.1.3

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 4 x - 6 x = 0$

خطوة 1.2.1.4

اطرح $6 x$ من $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 10 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{2} - 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 10 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 10 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 5) = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x) + 2 x (- 5)$ .

$2 x (x - 5) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0 + y = - x^{2} + 6 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 5$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = - {(0)}^{2} + 6 (0)$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = - {(0)}^{2} + 6 (0)$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 0^{2} + 6 (0)$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $- 0^{2} + 6 (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = - 0 + 6 (0)$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$y = 0 + 6 (0)$

خطوة 1.3.2.2.1.3

اضرب $6$ في $0$ .

$y = 0 + 0$

خطوة 1.3.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $5$ .

$y = - {(5)}^{2} + 6 (5)$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $5$ عن $x$ في $y = - {(5)}^{2} + 6 (5)$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 5^{2} + 6 (5)$

خطوة 1.4.2.2

بسّط $- 5^{2} + 6 (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$y = - 1 \cdot 25 + 6 (5)$

خطوة 1.4.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $25$ .

$y = - 25 + 6 (5)$

خطوة 1.4.2.2.1.3

اضرب $6$ في $5$ .

$y = - 25 + 30$

خطوة 1.4.2.2.2

أضف $- 25$ و $30$ .

$y = 5$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(5, 5)$

$(0, 0)$

$(5, 5)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{5} - x^{2} + 6 x d x - \int_{0}^{5} x^{2} - 4 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 6 x - (x^{2} - 4 x) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 6 x - x^{2} - (- 4 x)$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- x^{2} + 6 x - x^{2} + 4 x$

$\int_{0}^{5} - x^{2} + 6 x - x^{2} + 4 x d x$

خطوة 3.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x + 4 x$

خطوة 3.3.2

أضف $6 x$ و $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x$

$\int_{0}^{5} - 2 x^{2} + 10 x d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{5} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{5} 10 x d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{0}^{5} x^{2} d x + \int_{0}^{5} 10 x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 10 x d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 10 x d x$

خطوة 3.8

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 10 \int_{0}^{5} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 10 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $5$ وفي $0$ .

$- 2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $5$ وفي $0$ .

$- 2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- 2 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 2 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 2 (\frac{125}{3} - 0) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 (\frac{125}{3} + 0) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

أضف $\frac{125}{3}$ و $0$ .

$- 2 (\frac{125}{3}) + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{125}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 125}{3} + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

اضرب $- 2$ في $125$ .

$\frac{- 250}{3} + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 3.10.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} - 0)$

خطوة 3.10.2.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2} + 0)$

خطوة 3.10.2.3.13

أضف $\frac{25}{2}$ و $0$ .

$- \frac{250}{3} + 10 (\frac{25}{2})$

خطوة 3.10.2.3.14

اجمع $10$ و $\frac{25}{2}$ .

$- \frac{250}{3} + \frac{10 \cdot 25}{2}$

خطوة 3.10.2.3.15

اضرب $10$ في $25$ .

$- \frac{250}{3} + \frac{250}{2}$

خطوة 3.10.2.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $250$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.16.1

أخرِج العامل $2$ من $250$ .

$- \frac{250}{3} + \frac{2 \cdot 125}{2}$

خطوة 3.10.2.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{250}{3} + \frac{2 \cdot 125}{2 (1)}$

خطوة 3.10.2.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{250}{3} + \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.10.2.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{250}{3} + \frac{125}{1}$

خطوة 3.10.2.3.16.2.4

اقسِم $125$ على $1$ .

$- \frac{250}{3} + 125$

خطوة 3.10.2.3.17

لكتابة $125$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{250}{3} + 125 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.18

اجمع $125$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{250}{3} + \frac{125 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 250 + 125 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.20.1

اضرب $125$ في $3$ .

$\frac{- 250 + 375}{3}$

خطوة 3.10.2.3.20.2

أضف $- 250$ و $375$ .

$\frac{125}{3}$

خطوة 4