حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = y^{2}$ , $x - y = 30$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ بـ $y^{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استبدِل كافة حالات حدوث $x$ في $x - y = 30$ بـ $y^{2}$ .

$(y^{2}) - y = 30$

$x = y^{2}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احذِف الأقواس.

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ في $y^{2} - y = 30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $30$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - y - 30 = 0$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.2

حلّل $y^{2} - y - 30$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 30$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 6, 5$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $y - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $y - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.4.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 6$

$x = y^{2}$

$y = 6$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $y + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $y + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$y = - 5$

$x = y^{2}$

$y = - 5$

$x = y^{2}$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(y - 6) (y + 5) = 0$ صحيحة.

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $6$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $x = y^{2}$ بـ $6$ .

$x = {(6)}^{2}$

$y = 6$

خطوة 1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

خطوة 1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ بـ $- 5$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $y$ في $x = y^{2}$ بـ $- 5$ .

$x = {(- 5)}^{2}$

$y = - 5$

خطوة 1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

خطوة 2

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 30 + y$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 5}^{6} 30 + y d y - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 5$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - (y^{2}) d y$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $y^{2}$ .

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - y^{2} d y$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 5}^{6} 30 d y + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

خطوة 4.4

طبّق قاعدة الثابت.

$30 y]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

خطوة 4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

خطوة 4.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.1

اجمع $30 y]_{- 5}^{6}$ و $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

خطوة 4.8.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

خطوة 4.8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.1

احسِب قيمة $30 y + \frac{1}{2} y^{2}$ في $6$ وفي $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

خطوة 4.8.2.2

احسِب قيمة $\frac{y^{3}}{3}$ في $6$ وفي $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.1

اضرب $30$ في $6$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $36$ .

$180 + \frac{36}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$180 + \frac{18}{1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.4.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$180 + 18 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.5

أضف $180$ و $18$ .

$198 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.6

اضرب $30$ في $- 5$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.7

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} \cdot 25) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $25$ .

$198 - (- 150 + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.9

لكتابة $- 150$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$198 - (- 150 \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.10

اجمع $- 150$ و $\frac{2}{2}$ .

$198 - (\frac{- 150 \cdot 2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$198 - \frac{- 150 \cdot 2 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.12.1

اضرب $- 150$ في $2$ .

$198 - \frac{- 300 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.12.2

أضف $- 300$ و $25$ .

$198 - \frac{- 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$198 - - \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$198 + 1 (\frac{275}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.15

اضرب $\frac{275}{2}$ في $1$ .

$198 + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.16

لكتابة $198$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$198 \cdot \frac{2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.17

اجمع $198$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{198 \cdot 2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{198 \cdot 2 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.19.1

اضرب $198$ في $2$ .

$\frac{396 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.19.2

أضف $396$ و $275$ .

$\frac{671}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.20

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.21

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.21.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.21.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.21.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.21.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.21.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{671}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.21.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.8.2.3.22

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{- 125}{3})$

خطوة 4.8.2.3.23

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{671}{2} - (72 - - \frac{125}{3})$

خطوة 4.8.2.3.24

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + 1 (\frac{125}{3}))$

خطوة 4.8.2.3.25

اضرب $\frac{125}{3}$ في $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + \frac{125}{3})$

خطوة 4.8.2.3.26

لكتابة $72$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{3})$

خطوة 4.8.2.3.27

اجمع $72$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{125}{3})$

خطوة 4.8.2.3.28

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{671}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 125}{3}$

خطوة 4.8.2.3.29

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.29.1

اضرب $72$ في $3$ .

$\frac{671}{2} - \frac{216 + 125}{3}$

خطوة 4.8.2.3.29.2

أضف $216$ و $125$ .

$\frac{671}{2} - \frac{341}{3}$

خطوة 4.8.2.3.30

لكتابة $\frac{671}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3}$

خطوة 4.8.2.3.31

لكتابة $- \frac{341}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.8.2.3.32

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.32.1

اضرب $\frac{671}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.8.2.3.32.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.8.2.3.32.3

اضرب $\frac{341}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

خطوة 4.8.2.3.32.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{6}$

خطوة 4.8.2.3.33

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{671 \cdot 3 - 341 \cdot 2}{6}$

خطوة 4.8.2.3.34

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.3.34.1

اضرب $671$ في $3$ .

$\frac{2013 - 341 \cdot 2}{6}$

خطوة 4.8.2.3.34.2

اضرب $- 341$ في $2$ .

$\frac{2013 - 682}{6}$

خطوة 4.8.2.3.34.3

اطرح $682$ من $2013$ .

$\frac{1331}{6}$

خطوة 5