حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- x} \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{- x}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 1.1.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 1.1.4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 1.1.4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

خطوة 1.1.4.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

حلّل $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} \cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ .

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 2.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 2.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $\cos (x) - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.3

افصِل الكسور.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.5

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.6

افصِل الكسور.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 2.5.2.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 2.5.2.8

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 2.5.2.9

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

خطوة 2.5.2.10

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 2.5.2.11

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.11.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.11.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.11.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.5.2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.11.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 2.5.2.12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 2.5.2.13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.14

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.15

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.15.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.15.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.15.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2.15.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 2.5.2.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.15.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 2.5.2.15.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 2.5.2.16

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.16.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.5.2.16.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.5.2.16.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.5.2.16.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.5.2.17

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.7

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $e^{- x} \sin (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{4}$ .

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.2

اجمع $e^{- \frac{π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.1.2.3

انقُل $e^{- \frac{π}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.2.2.3

اجمع $e^{- \frac{5 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.2.4

انقُل $e^{- \frac{5 π}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{9 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{9 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 4.3.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع $e^{- \frac{9 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.3.2.4

انقُل $e^{- \frac{9 π}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

خطوة 4.4

احسِب القيمة في $x = \frac{13 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{13 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

خطوة 4.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 4.4.2.2

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 4.4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.4.2.4

اجمع $e^{- \frac{13 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.4.2.5

انقُل $e^{- \frac{13 π}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

خطوة 4.5

احسِب القيمة في $x = \frac{17 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{17 π}{4}$ .

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

خطوة 4.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 4.5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.5.2.3

اجمع $e^{- \frac{17 π}{4}}$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.5.2.4

انقُل $e^{- \frac{17 π}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

خطوة 4.6

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

خطوة 5