حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{7}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.3.10

اضرب $- 2$ في $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

خطوة 1.1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

خطوة 1.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

خطوة 1.1.1.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

خطوة 1.1.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.1.4.4

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.1.4.4.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

خطوة 1.1.1.4.5

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

خطوة 1.1.1.4.6

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

خطوة 1.1.1.4.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

خطوة 1.1.1.4.6.3

اطرح $6$ من $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

خطوة 1.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

خطوة 1.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

خطوة 1.1.1.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.4.1

اطرح $\frac{1}{x^{2}}$ من $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.2

اجمع $- 14$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.4

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

خطوة 1.1.1.5.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.6

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.6.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.10

اطرح $4$ من $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.11

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.12

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.2.13

أضف $2 x^{- 3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $- 14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{14}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.3.8

اضرب $- 3$ في $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

خطوة 1.1.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

خطوة 1.1.2.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

خطوة 1.1.2.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

خطوة 1.1.2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 1.1.2.4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 1.1.2.4.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 1.1.2.4.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 1.1.2.4.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 1.1.2.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 1.1.2.4.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

خطوة 1.1.2.4.8

اضرب $- 4$ في $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

خطوة 1.1.2.5.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

خطوة 1.1.2.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 1.1.2.5.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 1.1.2.5.4.2

اجمع $42$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

خطوة 1.1.2.5.4.3

اجمع $12$ و $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

خطوة 1.2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

خطوة 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

خطوة 1.2.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 1.2.2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.2.2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 1.2.2.6

عوامل $x^{3}$ هي $x \cdot x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $3$ من المرات.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

تحدث $x$ بمعدل $3$ من المرات.

خطوة 1.2.2.7

عوامل $x^{4}$ هي $x \cdot x \cdot x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $4$ من المرات.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

تحدث $x$ بمعدل $4$ من المرات.

خطوة 1.2.2.8

عوامل $x^{5}$ هي $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $x$ في بعضها بمعدل $5$ من المرات.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

تحدث $x$ بمعدل $5$ من المرات.

خطوة 1.2.2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

خطوة 1.2.2.10

بسّط $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.3

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.3.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{3 + 1} \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.3.2

أضف $3$ و $1$ .

$x^{4} \cdot x$

خطوة 1.2.2.10.4

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.4.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.10.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

خطوة 1.2.2.10.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{4 + 1}$

خطوة 1.2.2.10.4.2

أضف $4$ و $1$ .

$x^{5}$

خطوة 1.2.3

اضرب كل حد في $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ في $x^{5}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ في $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اضرب $0$ في $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

خطوة 1.2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

خطوة 1.2.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

خطوة 1.2.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

خطوة 1.2.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

خطوة 1.2.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

خطوة 1.2.4.2

اقسِم كل حد في $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.4.2.2.1.2

اقسِم $x^{2} + 21 x + 6$ على $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

خطوة 1.2.4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2.4.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 21$ و $c = 6$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.1.1

ارفع $21$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.5.1.3

اطرح $24$ من $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.1.1

ارفع $21$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.6.1.3

اطرح $24$ من $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.6.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.6.4

أعِد كتابة $- 21$ بالصيغة $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

خطوة 1.2.4.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

خطوة 1.2.4.6.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.7.1.1

ارفع $21$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.7.1.3

اطرح $24$ من $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.7.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.7.4

أعِد كتابة $- 21$ بالصيغة $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

خطوة 1.2.4.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

خطوة 1.2.4.7.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

خطوة 1.2.4.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

خطوة 2

أوجِد نطاق $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{7}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.3.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.3.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.3.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} = 0$

خطوة 2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 2.5.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.5.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 2.6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 23$ في العبارة.

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 23$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $- 23$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $- 23$ إلى القوة $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $\frac{2}{- 12167}$ في $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $\frac{2}{- 12167}$ في $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $\frac{42}{279841}$ في $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

خطوة 4.2.1.7

اضرب $\frac{42}{279841}$ في $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

خطوة 4.2.1.8

اضرب $\frac{12}{- 6436343}$ في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.1.9

اضرب $\frac{12}{- 6436343}$ في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

خطوة 4.2.1.10

اضرب $- 12167$ في $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

خطوة 4.2.1.11

أعِد ترتيب عوامل $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

خطوة 4.2.1.12

اضرب $23$ في $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

خطوة 4.2.1.13

اضرب $- 6436343$ في $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

خطوة 4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $2$ في $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $42$ في $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

خطوة 4.2.3.3

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

خطوة 4.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أضف $- 1058$ و $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

خطوة 4.2.4.2

اطرح $12$ من $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

خطوة 4.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

خطوة 4.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ لأن $f'' (- 23)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $\frac{2}{- 27}$ في $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $\frac{2}{- 27}$ في $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $\frac{42}{81}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

خطوة 5.2.1.7

اضرب $\frac{42}{81}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

خطوة 5.2.1.8

اضرب $\frac{12}{- 243}$ في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.2.1.9

اضرب $\frac{12}{- 243}$ في $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

خطوة 5.2.1.10

اضرب $- 27$ في $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

خطوة 5.2.1.11

أعِد ترتيب عوامل $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

خطوة 5.2.1.12

اضرب $3$ في $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

خطوة 5.2.1.13

اضرب $- 243$ في $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

خطوة 5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $42$ في $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $12$ في $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

خطوة 5.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $- 18$ و $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

خطوة 5.2.4.2

اطرح $12$ من $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

خطوة 5.2.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $96$ و $243$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

خطوة 5.2.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

خطوة 5.2.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

خطوة 5.2.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

خطوة 5.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ لأن $f'' (- 3)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.14$ في العبارة.

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.14$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $2$ على $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.14$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

خطوة 6.2.1.4

اقسِم $42$ على $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $- 0.14$ إلى القوة $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

خطوة 6.2.1.6

اقسِم $12$ على $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 728.86297376$ و $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $223121.31849824$ من $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ لأن $f'' (- 0.14)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $\frac{2}{8}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $\frac{2}{8}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $\frac{42}{16}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.7

اضرب $\frac{42}{16}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.8

أعِد ترتيب عوامل $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.9

اضرب $4$ في $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.10

أعِد ترتيب عوامل $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.1.11

اضرب $2$ في $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

خطوة 7.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

خطوة 7.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $42$ في $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

خطوة 7.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

أضف $8$ و $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

خطوة 7.2.4.2

أضف $92$ و $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

خطوة 7.2.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $104$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.3.1

أخرِج العامل $8$ من $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

خطوة 7.2.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.3.2.1

أخرِج العامل $8$ من $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

خطوة 7.2.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

خطوة 7.2.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

خطوة 7.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

خطوة 7.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 9