حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 - x) e^{x}$

خطوة 1

اكتب $(1 - x) e^{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = (1 - x) e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 - x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = (1 - x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (1 - x)$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (1 - x)$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

خطوة 2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 2.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (- \frac{d}{d x} x)$

خطوة 2.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} + e^{x} \cdot - 1$

خطوة 2.1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{x}$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} - 1 \cdot e^{x}$

خطوة 2.1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$f' (x) = (1 - x) e^{x} - e^{x}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 1 e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

خطوة 2.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f' (x) = e^{x} - x e^{x} - e^{x}$

خطوة 2.1.4.2.2

اطرح $e^{x}$ من $e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 0$

خطوة 2.1.4.2.3

أضف $- x e^{x}$ و $0$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

خطوة 2.1.4.3

أعِد ترتيب عوامل $- x e^{x}$ .

$f' (x) = - e^{x} x$

خطوة 2.1.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{x} x$ .

$f' (x) = - x e^{x}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f'' (x) = - (x e^{x} + e^{x})$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x}$

خطوة 2.2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - e^{x} x - e^{x}$

خطوة 2.2.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{x} x - e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} - e^{x}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x e^{x} - e^{x}$ .

$- x e^{x} - e^{x}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- x e^{x} - e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x e^{x} - e^{x} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- x e^{x} - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) - e^{x} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (- x - 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x - 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $- x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $- x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x - 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- x = 1$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$x = - 1$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{x} (- x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = (1 - x) e^{x}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = (1 - (- 1)) \cdot e^{- 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = (1 + 1) \cdot e^{- 1}$

خطوة 4.1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

خطوة 4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

خطوة 4.1.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{e}$

خطوة 4.1.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = (1 - x) e^{x}$ هي $(- 1, \frac{2}{e})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, \frac{2}{e})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 1.1 \cdot e^{- 1.1} - e^{- 1.1}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = 1.1 \cdot \frac{1}{e^{1.1}} - e^{- 1.1}$

خطوة 6.2.1.2

اجمع $1.1$ و $\frac{1}{e^{1.1}}$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{e^{1.1}} - e^{- 1.1}$

خطوة 6.2.1.3

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{{2.71828182}^{1.1}} - e^{- 1.1}$

خطوة 6.2.1.4

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{1.1}{3.00416602} - e^{- 1.1}$

خطوة 6.2.1.5

اقسِم $1.1$ على $3.00416602$ .

$f'' (- 1.1) = 0.36615819 - e^{- 1.1}$

خطوة 6.2.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.1) = 0.36615819 - \frac{1}{e^{1.1}}$

خطوة 6.2.2

اطرح $\frac{1}{e^{1.1}}$ من $0.36615819$ .

$f'' (- 1.1) = 0.0332871$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.0332871$ .

$0.0332871$

خطوة 6.3

في $- 1.1$ ، المشتق الثاني هو $0.0332871$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.9$ في العبارة.

$f'' (- 0.9) = 0.9 \cdot e^{- 0.9} - e^{- 0.9}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = 0.9 \cdot \frac{1}{e^{0.9}} - e^{- 0.9}$

خطوة 7.2.1.2

اجمع $0.9$ و $\frac{1}{e^{0.9}}$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{e^{0.9}} - e^{- 0.9}$

خطوة 7.2.1.3

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{{2.71828182}^{0.9}} - e^{- 0.9}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.9$ .

$f'' (- 0.9) = \frac{0.9}{2.45960311} - e^{- 0.9}$

خطوة 7.2.1.5

اقسِم $0.9$ على $2.45960311$ .

$f'' (- 0.9) = 0.36591269 - e^{- 0.9}$

خطوة 7.2.1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.9) = 0.36591269 - \frac{1}{e^{0.9}}$

خطوة 7.2.2

اطرح $\frac{1}{e^{0.9}}$ من $0.36591269$ .

$f'' (- 0.9) = - 0.04065696$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.04065696$ .

$- 0.04065696$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $- 0.9$ يساوي $- 0.04065696$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1, \infty)$

تناقص خلال $(- 1, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, \frac{2}{e})$ .

$(- 1, \frac{2}{e})$

خطوة 9