حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 (x - e^{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (x - e^{x})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (1 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 (1 - \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (1 - e^{x})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cdot 1 + 3 (- e^{x})$

خطوة 1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + 3 (- e^{x})$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 - 3 e^{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 3 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

خطوة 2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} e^{x}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 3 e^{x}$

خطوة 2.3

اطرح $3 e^{x}$ من $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$3 - 3 e^{x} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (x - e^{x})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$

خطوة 4.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

خطوة 4.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (1 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

خطوة 4.1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 (1 - \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (1 - e^{x})$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \cdot 1 + 3 (- e^{x})$

خطوة 4.1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.2.1

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + 3 (- e^{x})$

خطوة 4.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = 3 - 3 e^{x}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 - 3 e^{x}$ .

$3 - 3 e^{x}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 - 3 e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - 3 e^{x} = 0$

خطوة 5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 3 e^{x} = - 3$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 3 e^{x} = - 3$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 e^{x} = - 3$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 e^{x}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 e^{x}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$e^{x} = \frac{- 3}{- 3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 3$ .

$e^{x} = 1$

خطوة 5.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

خطوة 5.5

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (1)$

خطوة 5.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

خطوة 5.5.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (1)$

خطوة 5.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 3 e^{0}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 3 \cdot 1$

خطوة 9.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 3 ((0) - e^{0})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f (0) = 3 (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (0) = 3 (0 - 1)$

خطوة 11.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اطرح $1$ من $0$ .

$f (0) = 3 \cdot - 1$

خطوة 11.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (0) = - 3$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$y = - 3$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 3 (x - e^{x})$ .

$(0, - 3)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 13